数据结构 红黑树的详解

红黑树是具有下列着色性质的二叉查找树：

1.每一个节点或者着红色，或者着黑色。

2.根是黑色的。

3.如果一个节点是红色的，那么它的子节点必须是黑色。

4.从一个节点到一个NULL指针的每一条路径必须包含相同数目的黑色节点。

下面是一棵红黑树。

1.自底向上插入

通常把新项作为树叶放到树中。如果我们把该项涂成黑色，那么违反条件4，因为将会建立一条更长的黑节点路径。因此这一项必须涂成红色。如果它的父节点是黑色的，插入完成。如果父节点是红色的，那么违反条件3。在这种情况下我们必须调整该树以满足条件3。用于完成这项目任务的基本操作是颜色的改变和树的旋转。

如果新插入的节点的父节点是黑色，那么插入完成。

如果父节点是红色，那么有几种情形需要考虑。首先，假设这个父节点的兄弟是黑色（NULL节点约定为黑色）。这对于插入3或8是适用的，但对插入99不适用。令X是新加的树叶，P是它的父节点，S是该父节点的兄弟，G是祖父节点情况一：父节点的兄弟是黑色的。通过操作使得到达A,B,C的黑色路径保持不变（满足条件4），而且没有连续的红色节点（满足条件3）.。

情况二：父节点的兄弟是红色的。

2.自顶向下删除

红黑树中的删除可以是自顶向下进行。每一件工作都归结于能够删除一片树叶。这是因为，要删除一个带有两个儿子的节点，我们用右子树上的最小节点代替它；该节点最多有一个儿子，然后将该节点删除。只有一个右儿子的节点可以用相同的方式删除，而只有一个左儿子的节点通过用其左子树上最大的节点替换，然后可将该节点删除。但是假如删除的节点不是红色的，那么就会破坏红黑树的平衡。解决的方法就是保证从上到下删除期间树叶是红色的。

在整个讨论中，令X为当前节点，T是它的兄弟，而P是它们的父亲。开始时我们把根涂成红色。当沿着树向下遍历时，我们设法保证X是红色的。当我们到达一个新的节点时，我们要确信P是红色的并且X和T是黑色的（因为不能有两个相连的红色节点）。存在两种主要情形。情况一：X有两个黑色儿子。此时有三个子情况。（1）T有两个黑儿子，那么我们可以翻转X、T、P的颜色来保持这种不变性。
（2）T的左儿子是红色的
（3）T的右儿子是红色的
情况二：X的儿子之一是红的。在这种情况下，我们落到下一层，得到新的X、T、P。如果幸运，X落在红儿子上。则我们继续前行。如果不是这样，那么我们知道T将是红的，而X和P将是黑的。我们可以旋转T和P，使得X的新父亲是红的；当然X和它的祖父是黑的。此时我们可以回到第一种主情况。
3.红黑树的实现3.1 头文件// // RedBlackTree.h // RedBlackTree3 // // Created by Wuyixin on 2017/7/3. // Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved. // #ifndef RedBlackTree_h #define RedBlackTree_h #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <limits.h> typedef int ElementType; typedef enum { RED, BLACK } COLOR; typedef struct RedBlackNode *RedBlackTree,*Position; struct RedBlackNode{ ElementType Element; COLOR Color; RedBlackTree Left; RedBlackTree Right; }; static Position NullNode = NULL; static Position Header; static Position X,P,GP,GGP; RedBlackTree Initialize(); RedBlackTree Insert(RedBlackTree T,ElementType Item); RedBlackTree Remove(RedBlackTree T,ElementType Item); Position Find(RedBlackTree T,ElementType Item); void Travel(RedBlackTree T); #endif

3.2 实现文件

// // RedBlackTree.c // RedBlackTree3 // // Created by Wuyixin on 2017/7/3. // Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved. // #include "RedBlackTree.h" static Position SingleRotateLeft(Position X); static Position SingleRotateRight(Position X); static Position Rotate(Position Parent,Position* Origin ,ElementType Item); static Position SingleRotateLeft(Position T){ Position TL = T->Left; T->Left = TL->Right; TL->Right = T; return TL; } static Position SingleRotateRight(Position T){ Position TR = T->Right; T->Right = TR->Left; TR->Left = T; return TR; } static Position Rotate(Position Parent,Position* Origin ,ElementType Item){ if (Item < Parent->Element){ if (Origin != NULL) *Origin = Parent->Left; return Parent->Left = Item < Parent->Left->Element ? SingleRotateLeft(Parent->Left) : SingleRotateRight(Parent->Left); } else{ if (Origin != NULL) *Origin = Parent->Right; return Parent->Right = Item < Parent->Right->Element ? SingleRotateLeft(Parent->Right) : SingleRotateRight(Parent->Right); } } RedBlackTree Initialize(){ if (NullNode == NULL){ NullNode = malloc(sizeof(struct RedBlackNode)); if (NullNode == NULL) exit(EXIT_FAILURE); NullNode->Element = INT_MAX; NullNode->Color = BLACK; NullNode->Left = NullNode->Right = NullNode; } Header = malloc(sizeof(struct RedBlackNode)); if (Header == NULL) exit(EXIT_FAILURE); Header->Element = INT_MIN; Header->Left = Header->Right = NullNode; Header->Color = BLACK; return Header; } static Position GetSibling(Position Parent,Position X){ if (Parent->Element == INT_MIN) return NULL; if (X == Parent->Left) return Parent->Right; else if (X == Parent->Right) return Parent->Left; else return NULL; } void HandleReorientForInsert(ElementType Item){ Position Sibling,Origin; if (X == NullNode || !(P->Color == RED && X->Color == RED)) return ; Sibling = GetSibling(GP, P); if (Sibling == NULL) return ; if ((GP->Element < Item) != (P->Element < Item)){ P = Rotate(GP, &Origin,Item); X = Origin; } GP = Rotate(GGP, &Origin,Item); P = Origin; if (Sibling->Color == BLACK){ GP->Color = BLACK; GP->Left->Color = RED; GP->Right->Color = RED; } else{ GP->Color = RED; GP->Left->Color = BLACK; GP->Right->Color = BLACK; } } RedBlackTree _Insert(RedBlackTree T,ElementType Item){ if (T == NullNode){ T = malloc(sizeof(struct RedBlackNode)); T->Element = Item; T->Left = T->Right = NullNode; T->Color = RED; } else if (Item < T->Element) T->Left = _Insert(T->Left, Item); else if (Item > T->Element) T->Right = _Insert(T->Right, Item); X = P,P = GP,GP = GGP, GGP = T; HandleReorientForInsert(Item); return T; } RedBlackTree Insert(RedBlackTree T,ElementType Item){ GGP = GP = P = X = NullNode; T = _Insert(T, Item); T->Right->Color = BLACK; return T; } static void _HandleReorientForRemove(ElementType Item){ RedBlackTree Sibling,R; Sibling = GetSibling(P, X); if (Sibling == NULL) return ; if (Sibling->Left->Color == BLACK && Sibling->Right->Color == BLACK){ P->Color = BLACK; X->Color = RED; Sibling->Color = RED; }else if(Sibling->Left->Color == RED){ R = Sibling->Left; P->Color = BLACK; X->Color = RED; R = Rotate(P, NULL, R->Element); GP = Rotate(GP, NULL, R->Element); }else if (Sibling->Right->Color == RED){ X->Color = RED; P->Color = BLACK; Sibling->Color = RED; Sibling->Right->Color = BLACK; GP = Rotate(GP, NULL, Sibling->Element); } } static void HandleReorientForRemove(RedBlackTree T, ElementType Item){ RedBlackTree Sibling,Origin,OriginGP; if (X == NullNode) return ; if (X->Left->Color == BLACK && X->Right->Color == BLACK){ _HandleReorientForRemove(Item); }else{ OriginGP = GP; GP = P; P = X; if (Item < X->Element) X = X->Left; else X = X->Right; Sibling = GetSibling(P, X); if (X->Color == BLACK){ GP = Rotate(GP, &Origin, Sibling->Element); P = Origin; GP->Color = BLACK; P->Color = RED; _HandleReorientForRemove(Item); } if (X->Element == Item){ X = P ; P = GP ;GP = OriginGP; } } } RedBlackTree Remove(RedBlackTree T,ElementType Item){ ElementType Origin; Position DeletePtr; Origin = NullNode->Element; NullNode->Element = Item; GP = P = X = T; T->Right->Color = RED; while (X->Element != Item) { GP = P ; P = X; if (Item < X->Element) X = X->Left; else X = X->Right; HandleReorientForRemove(T, Item); } NullNode->Element = Origin; if (X != NullNode){ DeletePtr = X; if (X->Left != NullNode){ GP = P ; P = X; X = X->Left; HandleReorientForRemove(T, Item); while (X->Right != NullNode) { GP = P ; P = X; X = X->Right; HandleReorientForRemove(T, Item); } if (X == P->Left) P->Left = X->Left; else P->Right = X->Left; }else if (X->Right != NullNode){ GP = P ; P = X; X = X->Right; HandleReorientForRemove(T, Item); while (X->Left != NullNode) { GP = P ; P = X; X = X->Left; HandleReorientForRemove(T, Item); } if (X == P->Left) P->Left = X->Right; else P->Right = X->Right; }else{ if (X == P->Left) P->Left = NullNode; else P->Right = NullNode; } DeletePtr->Element = X->Element; free(X); } T->Right->Color = BLACK; return T; } typedef enum { ROOT, LEFT, RIGHT } NodeType; static char *TypeC; static char *ColorC; void _Travel(RedBlackTree T , NodeType Type){ if (T != NullNode){ if (Type == ROOT) TypeC = "root"; else if (Type == LEFT) TypeC = "left"; else if (Type == RIGHT) TypeC = "right"; if (T->Color == BLACK) ColorC = "black"; else ColorC = "red"; printf("(%d,%s,%s) ",T->Element,ColorC,TypeC); _Travel(T->Left, LEFT); _Travel(T->Right, RIGHT); } } void Travel(RedBlackTree T){ _Travel(T->Right,ROOT); }

3.3 调用

// // main.c // RedBlackTree3 // // Created by Wuyixin on 2017/7/3. // Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved. // #include "RedBlackTree.h" int main(int argc, const char * argv[]) { RedBlackTree T = Initialize(); T = Insert(T, 10); T = Insert(T, 85); T = Insert(T, 15); T = Insert(T, 70); T = Insert(T, 20); T = Insert(T, 60); T = Insert(T, 30); T = Insert(T, 50); T = Insert(T, 65); T = Insert(T, 80); T = Insert(T, 90); T = Insert(T, 40); T = Insert(T, 5); T = Insert(T, 55); T = Insert(T, 100); T = Remove(T, 100); Travel(T); return 0; }

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