时间:2021-05-19
堆是数据结构中的一种重要结构,了解了“堆”的概念和操作,可以快速掌握堆排序。
堆的概念
堆是一种特殊的完全二叉树(complete binary tree)。如果一棵完全二叉树的所有节点的值都不小于其子节点,称之为大根堆(或大顶堆);所有节点的值都不大于其子节点,称之为小根堆(或小顶堆)。
在数组(在0号下标存储根节点)中,容易得到下面的式子(这两个式子很重要):
1.下标为i的节点,父节点坐标为(i-1)/2;
2.下标为i的节点,左子节点坐标为2*i+1,右子节点为2*i+2。
堆的建立和维护
堆可以支持多种操作,但现在我们关心的只有两个问题:
1.给定一个无序数组,如何建立为堆?
2.删除堆顶元素后,如何调整数组成为新堆?
先看第二个问题。假定我们已经有一个现成的大根堆。现在我们删除了根元素,但并没有移动别的元素。想想发生了什么:根元素空了,但其它元素还保持着堆的性质。我们可以把最后一个元素(代号A)移动到根元素的位置。如果不是特殊情况,则堆的性质被破坏。但这仅仅是由于A小于其某个子元素。于是,我们可以把A和这个子元素调换位置。如果A大于其所有子元素,则堆调整好了;否则,重复上述过程,A元素在树形结构中不断“下沉”,直到合适的位置,数组重新恢复堆的性质。上述过程一般称为“筛选”,方向显然是自上而下。
删除一个元素是如此,插入一个新元素也是如此。不同的是,我们把新元素放在末尾,然后和其父节点做比较,即自下而上筛选。
那么,第一个问题怎么解决呢?
我看过的数据结构的书很多都是从第一个非叶子结点向下筛选,直到根元素筛选完毕。这个方法叫“筛选法”,需要循环筛选n/2个元素。
但我们还可以借鉴“无中生有”的思路。我们可以视第一个元素为一个堆,然后不断向其中添加新元素。这个方法叫做“插入法”,需要循环插入(n-1)个元素。
由于筛选法和插入法的方式不同,所以,相同的数据,它们建立的堆一般不同。
大致了解堆之后,堆排序就是水到渠成的事情了。
算法概述/思路
我们需要一个升序的序列,怎么办呢?我们可以建立一个最小堆,然后每次输出根元素。但是,这个方法需要额外的空间(否则将造成大量的元素移动,其复杂度会飙升到O(n^2))。如果我们需要就地排序(即不允许有O(n)空间复杂度),怎么办?
有办法。我们可以建立最大堆,然后我们倒着输出,在最后一个位置输出最大值,次末位置输出次大值……由于每次输出的最大元素会腾出第一个空间,因此,我们恰好可以放置这样的元素而不需要额外空间。很漂亮的想法,是不是?
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