补充知识：

正定矩阵

奇异矩阵

严格对角占优

要理解Gauss消去法，首先来看一个例子：

从上例子可以看出，高斯消去法实际上就是我们初中学的阶二元一次方程组，只不过那里的未知数个数$n=2$

$n>2$时，Gauss消去法的思路实际上和解二元一次方程组是一样的，方法如下：

• 将n方程组中的n−1个方程通过消元，形成一个与原方程组等价的一个新方程组，新方程组中的n−1个方程仅包含n−1个未知数。
• 故问题就转化为了求解n−1元的方程组，这样我们可以继续消元，以次类推，直到最后一个方程组为一元一次方程组
• 从最后一个一元一次方程组求解出最后一个未知量，然后逐步回代入之前的方程组，从而得到所有的未知数。
• 我们可以看到Gauss实际上就分为两步：消去和回代

下面通过一般化得到Gauss消元法的求解过程

以上就是Gauss消去法的基本步骤，我们再回过头看看有没有什么问题？

我们在求比例$l_{ik}= \frac{a_{ik}^{\left (k-1 \right )}}{a_{kk}^{\left (k-1 \right )}}$时，如果分母很小，即：

$l_{ik}\rightarrow \infty$，那么

总结一下，能否使用Gauss消元法的情况

为了解决这个问题，我们可以使用列主元Gauss消元法。

参考了一些网上的代码，这里给出Gauss的Java实现

package peterxiazhe;import java.util.Scanner;public class Gauss { /** * 列主元高斯消去法 */ static double A[][]; static double b[]; static double x[]; static int n; //n表示未知数的个数 static int n_2; //记录换行的次数 public static void main(String[] args) { System.out.println("--------------输入方程组未知数的个数---------------"); Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt(); A = new double[n][n]; b = new double[n]; x = new double[n]; System.out.println("--------------输入方程组的系数矩阵A:---------------"); for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { A[i][j] = sc.nextDouble(); } } System.out.println("--------------输入方程组的常量向量b:---------------"); for(int i = 0; i < n; i++) { b[i] = sc.nextDouble(); } Elimination(); BackSubstitution(); PrintRoot(); } //消元法 public static void Elimination() { PrintA(); for(int k = 0; k < n; k++) { WrapRow(k); for(int i = k+1; i < n; i++) { double l = A[i][k] / A[k][k]; A[i][k] = 0; for(int j = k+1; j < n; j++) { A[i][j] = A[i][j] - l * A[k][j]; } b[i] = b[i] - l * b[k]; } //System.out.println("第" + k + "次消元后:"); //PrintA(); } } //回代法 public static void BackSubstitution() { x[n-1] = b[n-1] / A[n-1][n-1]; for(int i = n - 2; i >= 0; i--) { x[i] = (b[i] - solve(i)) / A[i][i]; } } public static double solve(int i) { double result = 0.0; for(int j = i; j < n; j++) result += A[i][j] * x[j]; return result; } //输出方程组的根 public static void PrintRoot() { System.out.println("--------------方程组的根为---------------"); for(int i = 0; i < n; i++) { System.out.println("x" + (i+1) + " = " + x[i]); } } //交换Swap函数??? public static void Swap(double[] ar, int x, int y) { Double tmp = ar[x]; ar[x] = ar[y]; ar[y] = tmp; } public static void PrintA() { //输出A的增广矩阵 //System.out.println("--------------增广矩阵---------------"); for(int i = 0; i < n; i++) { for(int j = 0; j < n; j++) { System.out.print(A[i][j] + " "); } System.out.println(b[i]); } } //交换矩阵的行 public static void WrapRow(int k) { //k表示第k+1轮消元 double maxElement = Math.abs(A[k][k]); int WrapRowIndex = k; // 记住要交换的行 for(int i = k + 1; i < n; i++) { if (Math.abs(A[i][k]) > maxElement) { WrapRowIndex = i; maxElement = A[i][k]; } } if (WrapRowIndex != k) { //交换求得最大主元 n_2 += 1; System.out.println("k = " + k + "时，" + "要交换的行为" + k + "和"+ WrapRowIndex); //先交换A for(int j = k; j < n; j++) { double[] arr = {A[k][j], A[WrapRowIndex][j]}; Swap(arr, 0, 1); A[k][j] = arr[0]; A[WrapRowIndex][j] = arr[1];// double tmp = A[k][j];// A[k][j] = A[WrapRowIndex][j];// A[WrapRowIndex][j] = tmp; } //再交换b double[] arr = {b[k], b[WrapRowIndex]}; Swap(arr, 0, 1); b[k] = arr[0]; b[WrapRowIndex] = arr[1];// double tmp = b[k];// b[k] = b[WrapRowIndex];// b[WrapRowIndex] = tmp; System.out.println("--------------交换后---------------"); PrintA(); } }}

注意：由于Java不支持对基本数据类型的引用传递，这里使用了一个小技巧

java中交换两个基本数据类型的变量函数swap(int[] source,int i,int j）

java中函数的参数传递机制是：基本数据类型采用值传递，对象采用传引用。因此，如果要写一个交换两个int型变量数值的函数，还真是有点不方便，必须采用一个数组对象来作为辅助,具体实现如下：

//交换两个整数 private static void swap(int[] source, int i, int j) { int temp = source[i]; source[i] = source[j]; source[j] = temp; }

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。