前言

Dijkstra算法是最短路径算法中为人熟知的一种，是单起点全路径算法。该算法被称为是“贪心算法”的成功典范。本文接下来将尝试以最通俗的语言来介绍这个伟大的算法，并赋予java实现代码。

一、知识准备：

1、表示图的数据结构

用于存储图的数据结构有多种，本算法中笔者使用的是邻接矩阵。

图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij = aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。

从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。

（1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；

（2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；

（3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；

而有向图讲究入度和出度，顶点vi的入度为1，正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2，即第i行的各数之和。

有向图的定义也类似，故不做赘述。

2、单起点全路径

所谓单起点全路径，就是指在一个图中，从一个起点出发，到所有节点的最短路径。

3、图论的基本知识(读者需自行寻找相关资料)

4、互补松弛条件

设标量d1,d2,....,dN满足

dj<=di + aij, (i,j)属于A,

且P是以i1为起点ik为终点的路，如果

dj = di + aij, 对P的所有边(i, j)

成立，那么P是从i1到ik的最短路。其中，满足上面两式的被称为最短路问题的互补松弛条件。

二、算法思想

1、令G = （V，E）为一个带权无向图。G中若有两个相邻的节点,i和j。aij(在这及其后面都表示为下标，请注意)为节点i到节点j的权值，在本算法可以理解为距离。每个节点都有一个值di(节点标记)表示其从起点到它的某条路的距离。

2、算法初始有一个数组V用于储存未访问节点的列表，我们暂称为候选列表。选定节点1为起始节点。开始时，节点1的d1=0, 其他节点di=无穷大，V为所有节点。
初始化条件后，然后开始迭代算法，直到V为空集时停止。具体迭代步骤如下：

将d值最小的节点di从候选列表中移除。(本例中V的数据结构采用的是优先队列实现最小值出列，最好使用斐波那契对，在以前文章有过介绍，性能有大幅提示)。对于以该节点为起点的每一条边，不包括移除V的节点, (i, j)属于A， 若dj > di + aij（违反松弛条件）,则令

dj = di + aij , （如果j已经从V中移除过，说明其最小距离已经计算出，不参与此次计算）

可以看到在算法的运算工程中，节点的d值是单调不增的

具体算法图解如下

　　

三、java代码实现

public class Vertex implements Comparable<Vertex>{ /** * 节点名称(A,B,C,D) */ private String name; /** * 最短路径长度 */ private int path; /** * 节点是否已经出列(是否已经处理完毕) */ private boolean isMarked; public Vertex(String name){ this.name = name; this.path = Integer.MAX_VALUE; //初始设置为无穷大 this.setMarked(false); } public Vertex(String name, int path){ this.name = name; this.path = path; this.setMarked(false); } @Override public int compareTo(Vertex o) { return o.path > path?-1:1; }}public class Graph { /* * 顶点 */ private List<Vertex> vertexs; /* * 边 */ private int[][] edges; /* * 没有访问的顶点 */ private Queue<Vertex> unVisited; public Graph(List<Vertex> vertexs, int[][] edges) { this.vertexs = vertexs; this.edges = edges; initUnVisited(); } /* * 搜索各顶点最短路径 */ public void search(){ while(!unVisited.isEmpty()){ Vertex vertex = unVisited.element(); //顶点已经计算出最短路径，设置为"已访问" 　　vertex.setMarked(true); //获取所有"未访问"的邻居 　　List<Vertex> neighbors = getNeighbors(vertex); //更新邻居的最短路径 updatesDistance(vertex, neighbors); pop(); } System.out.println("search over"); } /* * 更新所有邻居的最短路径 */ private void updatesDistance(Vertex vertex, List<Vertex> neighbors){ for(Vertex neighbor: neighbors){ updateDistance(vertex, neighbor); } } /* * 更新邻居的最短路径 */ private void updateDistance(Vertex vertex, Vertex neighbor){ int distance = getDistance(vertex, neighbor) + vertex.getPath(); if(distance < neighbor.getPath()){ neighbor.setPath(distance); } } /* * 初始化未访问顶点集合 */ private void initUnVisited() { unVisited = new PriorityQueue<Vertex>(); for (Vertex v : vertexs) { unVisited.add(v); } } /* * 从未访问顶点集合中删除已找到最短路径的节点 */ private void pop() { unVisited.poll(); } /* * 获取顶点到目标顶点的距离 */ private int getDistance(Vertex source, Vertex destination) { int sourceIndex = vertexs.indexOf(source); int destIndex = vertexs.indexOf(destination); return edges[sourceIndex][destIndex]; } /* * 获取顶点所有(未访问的)邻居 */ private List<Vertex> getNeighbors(Vertex v) { List<Vertex> neighbors = new ArrayList<Vertex>(); int position = vertexs.indexOf(v); Vertex neighbor = null; int distance; for (int i = 0; i < vertexs.size(); i++) { if (i == position) { //顶点本身，跳过 continue; } distance = edges[position][i]; //到所有顶点的距离 if (distance < Integer.MAX_VALUE) { //是邻居(有路径可达) neighbor = getVertex(i); if (!neighbor.isMarked()) { //如果邻居没有访问过，则加入list; neighbors.add(neighbor); } } } return neighbors; } /* * 根据顶点位置获取顶点 */ private Vertex getVertex(int index) { return vertexs.get(index); } /* * 打印图 */ public void printGraph() { int verNums = vertexs.size(); for (int row = 0; row < verNums; row++) { for (int col = 0; col < verNums; col++) { if(Integer.MAX_VALUE == edges[row][col]){ System.out.print("X"); System.out.print(" "); continue; } System.out.print(edges[row][col]); System.out.print(" "); } System.out.println(); } }}public class Test { public static void main(String[] args){ List<Vertex> vertexs = new ArrayList<Vertex>(); Vertex a = new Vertex("A", 0); Vertex b = new Vertex("B"); Vertex c = new Vertex("C"); Vertex d = new Vertex("D"); Vertex e = new Vertex("E"); Vertex f = new Vertex("F"); vertexs.add(a); vertexs.add(b); vertexs.add(c); vertexs.add(d); vertexs.add(e); vertexs.add(f); int[][] edges = { {Integer.MAX_VALUE,6,3,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE}, {6,Integer.MAX_VALUE,2,5,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE}, {3,2,Integer.MAX_VALUE,3,4,Integer.MAX_VALUE}, {Integer.MAX_VALUE,5,3,Integer.MAX_VALUE,5,3}, {Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,4,5,Integer.MAX_VALUE,5}, {Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,3,5,Integer.MAX_VALUE} }; Graph graph = new Graph(vertexs, edges); graph.printGraph(); graph.search(); } }

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。