动态规划法

题目描述：给定n个矩阵{A1,A2....An}，其中Ai与Ai+1是可以相乘的，判断这n个矩阵通过加括号的方式相乘，使得相乘的次数最少!

以矩阵链ABCD为例

按照矩阵链长度递增计算最优值

矩阵链长度为1时，分别计算出矩阵链A、B、C、D的最优值
矩阵链长度为2时，分别计算出矩阵链AB、BC、CD的最优值
矩阵链长度为3时，分别计算出矩阵链ABC、BCD的最优值
矩阵链长度为4时，计算出矩阵链ABCD的最优值

动归方程：

分析:

k为矩阵链断开的位置
d数组存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]是以第i个矩阵为首，第j个矩阵为尾的矩阵链的最优值，i > 0
m数组内存放矩阵链的行列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）

c语言实现代码：

#include <stdio.h>#define N 20 void MatrixChain(int p[N],int n,int m[N][N],int s[N][N]){ int i,j,t,k; int r; //记录相乘的矩阵个数变量 for(i=1;i<=n;i++){ m[i][i]=0; //当一个矩阵相乘时，相乘次数为 0 } //矩阵个数从两个开始一次递增 for(r=2;r<=n;r++){ //从某个矩阵开始 for(i=1;i<=n-r+1;i++){ //到某个矩阵的结束 j=i+r-1; //拿到从 i 到 j 矩阵连乘的次数 m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]; //拿到矩阵连乘断开的位置 s[i][j]=i; //寻找加括号不同，矩阵连乘次数的最小值，修改 m 数组，和断开的位置 s 数组 for(k=i+1;k<j;k++){ t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]; if(t<m[i][j]){ m[i][j]=t; s[i][j]=k; } } } } } int main(void){ int n,n1,m1,i,j=2; int p[N]={0}; //存储矩阵的行和列数组 int m[N][N]={0}; //存储矩阵与矩阵相乘的最小次数 int s[N][N]={0}; //存储矩阵与矩阵相乘断开的位置 printf("请输入矩阵个数:\n"); scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++){ printf("请输入第%d个矩阵的行和列(n1*m1 格式):",i); scanf("%d*%d",&n1,&m1); if(i==1){ p[0]=n1; p[1]=m1; } else{ p[j++]=m1; } } printf("\n记录矩阵行和列:\n"); for(i=0;i<=n;i++){ printf("%d ",p[i]); } printf("\n"); MatrixChain(p,n,m,s); printf("\n矩阵相乘的最小次数矩阵为:\n"); for(i=1;i<=n;i++){ for(j=1;j<=n;j++){ printf("%d ",m[i][j]); } printf("\n"); } printf("\n矩阵相乘断开的位置矩阵为:\n"); for(i=1;i<=n;i++){ for(j=1;j<=n;j++){ printf("%d ",s[i][j]); } printf("\n"); } printf("矩阵最小相乘次数为:%d\n",m[1][n]); return 0; }

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