用Python实现出来的机器学习算法都是什么样子呢？ 前两期线性回归及逻辑回归项目已发布（见文末链接），今天来讲讲BP神经网络。

BP神经网络

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/NeuralNetwok/NeuralNetwork.py

神经网络model

先介绍个三层的神经网络，如下图所示

输入层（input layer）有三个units（

为补上的bias，通常设为1）

表示第j层的第i个激励，也称为为单元unit

为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重

所以可以得到：

隐含层：

输出层

，

其中，S型函数

，也成为激励函数

可以看出

为3x4的矩阵，

为1x4的矩阵

==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）

代价函数

假设最后输出的

，即代表输出层有K个单元

，

其中，

代表第i个单元输出与逻辑回归的代价函数

差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）

正则化

L-->所有层的个数

-->第l层unit的个数

正则化后的代价函数为

共有L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)

正则化后的代价函数实现代码：

# 代价函数def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):length = nn_params.shape[0] # theta的中长度# 还原theta1和theta2Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)# np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')m = X.shape[0]class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系# 映射yfor i in range(num_labels):class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''Theta1_colCount = Theta1.shape[1]Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]Theta2_colCount = Theta2.shape[1]Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]# 正则化向theta^2term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))'''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))a2 = sigmoid(z2)a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))h = sigmoid(z3)'''代价'''J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/mreturn np.ravel(J)

反向传播BP

上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度

BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

假设4层的神经网络,

记为-->l层第j个单元的误差

《===》

（向量化）

没有

，因为对于输入没有误差

因为S型函数

的倒数为：

，

所以上面的

和

可以在前向传播中计算出来

反向传播计算梯度的过程为：

（

是大写的

）

for i=1-m:-

-正向传播计算

（l=2,3,4...L）

-反向计算

、

...

；

-

-

最后

，即得到代价函数的梯度

实现代码：

# 梯度def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):length = nn_params.shape[0]Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)m = X.shape[0]class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系# 映射yfor i in range(num_labels):class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''Theta1_colCount = Theta1.shape[1]Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]Theta2_colCount = Theta2.shape[1]Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) #第一层到第二层的权重Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) #第二层到第三层的权重Theta1[:,0] = 0;Theta2[:,0] = 0;'''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))a2 = sigmoid(z2)a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))h = sigmoid(z3)'''反向传播，delta为误差，'''delta3 = np.zeros((m,num_labels))delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))for i in range(m):delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))'''梯度'''grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/mreturn np.ravel(grad)

BP可以求梯度的原因

实际是利用了链式求导法则

因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算

大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。

求误差更详细的推导过程：

梯度检查

检查利用BP求的梯度是否正确

利用导数的定义验证：

求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近

验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了

实现代码：

# 检验梯度是否计算正确# 检验梯度是否计算正确def checkGradient(Lambda = 0):'''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''input_layer_size = 3hidden_layer_size = 5num_labels = 3m = 5initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size);initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化yy = y.reshape(-1,1)nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) #展开theta'''BP求出梯度'''grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size,num_labels, X, y, Lambda)'''使用数值法计算梯度'''num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))step = np.zeros((nn_params.shape[0]))e = 1e-4for i in range(nn_params.shape[0]):step[i] = eloss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,num_labels, X, y,Lambda)loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,num_labels, X, y,Lambda)num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)step[i]=0# 显示两列比较res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))print res

权重的随机初始化

神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。

所以应该初始化为接近0的数

实现代码

# 随机初始化权重thetadef randInitializeWeights(L_in,L_out):W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 对应theta的权重epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵return W

预测

正向传播预测结果

实现代码

# 预测def predict(Theta1,Theta2,X):m = X.shape[0]num_labels = Theta2.shape[0]#p = np.zeros((m,1))'''正向传播，预测结果'''X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))'''返回h中每一行最大值所在的列号- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）- 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）'''#np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))for i in np.arange(1, m):t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))p = np.vstack((p,t))return p

输出结果

梯度检查：

随机显示100个手写数字

显示theta1权重

训练集预测准确度

归一化后训练集预测准确度

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。