一、问题描述

给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB。则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA

二、算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

①最优子结构

设X=(x1,x2,...,xn)和Y=(y1,y2,...,ym)是两个序列，将X和Y的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X和Y中最长的那个公共子序列。而要找X和Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

⑴如果xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1,Ym-1)

LCS(Xn-1,Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1和Ym-1的最长公共子序列啊。最长的！换句话说就是最优的那个。

⑵如果xn!=ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1,Ym)和LCS(Xn,Ym-1)

因为序列X和序列Y的最后一个元素不相等，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素。

LCS(Xn-1,Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,...xn-1)和(y1,y2,...,ym)中找。

LCS(Xn,Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,...xn)和(y1,y2,...,ym-1)中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是LCS(X,Y)。用数学表示就是：

LCS=max{LCS(Xn-1,Ym),LCS(Xn,Ym-1)}

由于条件⑴和⑵考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功的把原问题转化成了三个规模更小的问题。

②重叠子问题

重叠子问题是什么？就是说原问题转化成子问题后，子问题中有相同的问题。

原问题是：LCS(X,Y)。子问题有❶LCS(Xn-1,Ym-1)❷ LCS(Xn-1,Ym)❸ LCS(Xn,Ym-1)

乍一看，这三个问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：

第二个子问题：LCS(Xn-1,Ym)就包含了问题❶LCS(Xn-1,Ym-1)，为什么？

因为，当Xn-1和Ym的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1,Ym-1)进行分解：分解成：LCS(Xn-1,Ym-1)和LCS(Xn-2,Ym)

也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。

由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。国为采用递归，它重复地求解了子问题，而且需要注意的是，所有子问题加起来的个数是指数级的。

那么问题来了，如果用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级的。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？

关键是采用动态规划时，并不需要去一一计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题是通过“查表”直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。举个例子：比如求Fib数列。

求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4)和fib(3)，求解fib(4)和fib(3)时，又分解了一系列的小问题...

从图中可以看出：根的左右子树：fib(4)和fib(3)下，是有很多重叠的！比如，对于fib(2)，它就一共出现了三次。如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP（Dynamic Programming）动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过“查表”直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题解，直到分解为基准问题（fib(0)或者fib(1)）

说了这么多，还是写下最长公共子序列的递归式才完整。

C[i,j]表示：(x1,x2,...,xi)和(y1,y2,...,yj)的最长公共子序列的长度。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

三、LCS Python代码实现

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。