逻辑回归

适用类型：解决二分类问题

逻辑回归的出现：线性回归可以预测连续值，但是不能解决分类问题，我们需要根据预测的结果判定其属于正类还是负类。所以逻辑回归就是将线性回归的结果，通过Sigmoid函数映射到（0，1）之间

线性回归的决策函数：数据与θ的乘法，数据的矩阵格式(样本数×列数)，θ的矩阵格式(列数×1)

将其通过Sigmoid函数，获得逻辑回归的决策函数

使用Sigmoid函数的原因：

可以对(-∞, +∞)的结果，映射到(0, 1)之间作为概率

可以将1/2作为决策边界

数学特性好，求导容易

逻辑回归的损失函数

线性回归的损失函数维平方损失函数，如果将其用于逻辑回归的损失函数，则其数学特性不好，有很多局部极小值，难以用梯度下降法求解最优

这里使用对数损失函数

解释：如果一个样本为正样本，那么我们希望将其预测为正样本的概率p越大越好，也就是决策函数的值越大越好，则logp越大越好，逻辑回归的决策函数值就是样本为正的概率；如果一个样本为负样本，那么我们希望将其预测为负样本的概率越大越好，也就是（1-p）越大越好，即log(1-p)越大越好

为什么使用对数函数：样本集中有很多样本，要求其概率连乘，概率为0-1之间的数，连乘越来越小，利用log变换将其变为连加，不会溢出，不会超出计算精度

损失函数:： y(1->m)表示Sigmoid值(样本数×1)，hθx(1->m)表示决策函数值(样本数×1)，所以中括号的值(1×1)

二分类逻辑回归直线编码实现

import numpy as npfrom matplotlib import pyplot as plt​from scipy.optimize import minimizefrom sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures​​class MyLogisticRegression: def __init__(self): plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"] # 包含数据和标签的数据集 self.data = np.loadtxt("./data2.txt", delimiter=",") self.data_mat = self.data[:, 0:2] self.label_mat = self.data[:, 2] self.thetas = np.zeros((self.data_mat.shape[1]))​ # 生成多项式特征，最高6次项 self.poly = PolynomialFeatures(6) self.p_data_mat = self.poly.fit_transform(self.data_mat)​ def cost_func_reg(self, theta, reg): """ 损失函数具体实现 :param theta: 逻辑回归系数 :param data_mat: 带有截距项的数据集 :param label_mat: 标签数据集 :param reg: :return: """ m = self.label_mat.size label_mat = self.label_mat.reshape(-1, 1) h = self.sigmoid(self.p_data_mat.dot(theta))​ J = -1 * (1/m)*(np.log(h).T.dot(label_mat) + np.log(1-h).T.dot(1-label_mat))\ + (reg / (2*m)) * np.sum(np.square(theta[1:])) if np.isnan(J[0]): return np.inf return J[0]​ def gradient_reg(self, theta, reg): m = self.label_mat.size h = self.sigmoid(self.p_data_mat.dot(theta.reshape(-1, 1))) label_mat = self.label_mat.reshape(-1, 1)​ grad = (1 / m)*self.p_data_mat.T.dot(h-label_mat) + (reg/m)*np.r_[[[0]], theta[1:].reshape(-1, 1)] return grad​ def gradient_descent_reg(self, alpha=0.01, reg=0, iterations=200): """ 逻辑回归梯度下降收敛函数 :param alpha: 学习率 :param reg: :param iterations: 最大迭代次数 :return: 逻辑回归系数组 """ m, n = self.p_data_mat.shape theta = np.zeros((n, 1)) theta_set = []​ for i in range(iterations): grad = self.gradient_reg(theta, reg) theta = theta - alpha*grad.reshape(-1, 1) theta_set.append(theta) return theta, theta_set​ def plot_data_reg(self, x_label=None, y_label=None, neg_text="negative", pos_text="positive", thetas=None): neg = self.label_mat == 0 pos = self.label_mat == 1 fig1 = plt.figure(figsize=(12, 8)) ax1 = fig1.add_subplot(111) ax1.scatter(self.p_data_mat[neg][:, 1], self.p_data_mat[neg][:, 2], marker="o", s=100, label=neg_text) ax1.scatter(self.p_data_mat[pos][:, 1], self.p_data_mat[pos][:, 2], marker="+", s=100, label=pos_text) ax1.set_xlabel(x_label, fontsize=14)​ # 描绘逻辑回归直线（曲线） if isinstance(thetas, type(np.array([]))): x1_min, x1_max = self.p_data_mat[:, 1].min(), self.p_data_mat[:, 1].max() x2_min, x2_max = self.p_data_mat[:, 2].min(), self.p_data_mat[:, 2].max() xx1, xx2 = np.meshgrid(np.linspace(x1_min, x1_max), np.linspace(x2_min, x2_max)) h = self.sigmoid(self.poly.fit_transform(np.c_[xx1.ravel(), xx2.ravel()]).dot(thetas)) h = h.reshape(xx1.shape) ax1.contour(xx1, xx2, h, [0.5], linewidths=3) ax1.legend(fontsize=14) plt.show()​ @staticmethod def sigmoid(z): return 1.0 / (1 + np.exp(-z))​​if __name__ == '__main__': my_logistic_regression = MyLogisticRegression() # my_logistic_regression.plot_data(x_label="线性不可分数据集")​ thetas, theta_set = my_logistic_regression.gradient_descent_reg(alpha=0.5, reg=0, iterations=500) my_logistic_regression.plot_data_reg(thetas=thetas, x_label="$\\lambda$ = {}".format(0))​ thetas = np.zeros((my_logistic_regression.p_data_mat.shape[1], 1)) # 未知错误，有大佬解决可留言 result = minimize(my_logistic_regression.cost_func_reg, thetas, args=(0, ), method=None, jac=my_logistic_regression.gradient_reg) my_logistic_regression.plot_data_reg(thetas=result.x, x_label="$\\lambda$ = {}".format(0))

二分类问题逻辑回归曲线编码实现

import numpy as npfrom matplotlib import pyplot as plt​from scipy.optimize import minimizefrom sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures​​class MyLogisticRegression: def __init__(self): plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"] # 包含数据和标签的数据集 self.data = np.loadtxt("./data2.txt", delimiter=",") self.data_mat = self.data[:, 0:2] self.label_mat = self.data[:, 2] self.thetas = np.zeros((self.data_mat.shape[1]))​ # 生成多项式特征，最高6次项 self.poly = PolynomialFeatures(6) self.p_data_mat = self.poly.fit_transform(self.data_mat)​ def cost_func_reg(self, theta, reg): """ 损失函数具体实现 :param theta: 逻辑回归系数 :param data_mat: 带有截距项的数据集 :param label_mat: 标签数据集 :param reg: :return: """ m = self.label_mat.size label_mat = self.label_mat.reshape(-1, 1) h = self.sigmoid(self.p_data_mat.dot(theta))​ J = -1 * (1/m)*(np.log(h).T.dot(label_mat) + np.log(1-h).T.dot(1-label_mat))\ + (reg / (2*m)) * np.sum(np.square(theta[1:])) if np.isnan(J[0]): return np.inf return J[0]​ def gradient_reg(self, theta, reg): m = self.label_mat.size h = self.sigmoid(self.p_data_mat.dot(theta.reshape(-1, 1))) label_mat = self.label_mat.reshape(-1, 1)​ grad = (1 / m)*self.p_data_mat.T.dot(h-label_mat) + (reg/m)*np.r_[[[0]], theta[1:].reshape(-1, 1)] return grad​ def gradient_descent_reg(self, alpha=0.01, reg=0, iterations=200): """ 逻辑回归梯度下降收敛函数 :param alpha: 学习率 :param reg: :param iterations: 最大迭代次数 :return: 逻辑回归系数组 """ m, n = self.p_data_mat.shape theta = np.zeros((n, 1)) theta_set = []​ for i in range(iterations): grad = self.gradient_reg(theta, reg) theta = theta - alpha*grad.reshape(-1, 1) theta_set.append(theta) return theta, theta_set​ def plot_data_reg(self, x_label=None, y_label=None, neg_text="negative", pos_text="positive", thetas=None): neg = self.label_mat == 0 pos = self.label_mat == 1 fig1 = plt.figure(figsize=(12, 8)) ax1 = fig1.add_subplot(111) ax1.scatter(self.p_data_mat[neg][:, 1], self.p_data_mat[neg][:, 2], marker="o", s=100, label=neg_text) ax1.scatter(self.p_data_mat[pos][:, 1], self.p_data_mat[pos][:, 2], marker="+", s=100, label=pos_text) ax1.set_xlabel(x_label, fontsize=14)​ # 描绘逻辑回归直线（曲线） if isinstance(thetas, type(np.array([]))): x1_min, x1_max = self.p_data_mat[:, 1].min(), self.p_data_mat[:, 1].max() x2_min, x2_max = self.p_data_mat[:, 2].min(), self.p_data_mat[:, 2].max() xx1, xx2 = np.meshgrid(np.linspace(x1_min, x1_max), np.linspace(x2_min, x2_max)) h = self.sigmoid(self.poly.fit_transform(np.c_[xx1.ravel(), xx2.ravel()]).dot(thetas)) h = h.reshape(xx1.shape) ax1.contour(xx1, xx2, h, [0.5], linewidths=3) ax1.legend(fontsize=14) plt.show()​ @staticmethod def sigmoid(z): return 1.0 / (1 + np.exp(-z))​​if __name__ == '__main__': my_logistic_regression = MyLogisticRegression() # my_logistic_regression.plot_data(x_label="线性不可分数据集")​ thetas, theta_set = my_logistic_regression.gradient_descent_reg(alpha=0.5, reg=0, iterations=500) my_logistic_regression.plot_data_reg(thetas=thetas, x_label="$\\lambda$ = {}".format(0))​ thetas = np.zeros((my_logistic_regression.p_data_mat.shape[1], 1)) # 未知错误，有大佬解决可留言 result = minimize(my_logistic_regression.cost_func_reg, thetas, args=(0, ), method=None, jac=my_logistic_regression.gradient_reg) my_logistic_regression.plot_data_reg(thetas=result.x, x_label="$\\lambda$ = {}".format(0))

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