EM算法实例

通过实例可以快速了解EM算法的基本思想，具体推导请点文末链接。图a是让我们预热的，图b是EM算法的实例。

这是一个抛硬币的例子，H表示正面向上，T表示反面向上，参数θ表示正面朝上的概率。硬币有两个，A和B，硬币是有偏的。本次实验总共做了5组，每组随机选一个硬币，连续抛10次。如果知道每次抛的是哪个硬币，那么计算参数θ就非常简单了，如

下图所示：

如果不知道每次抛的是哪个硬币呢？那么，我们就需要用EM算法，基本步骤为：

  1、给θ_AθA​和θ_BθB​一个初始值；

  2、（E-step）估计每组实验是硬币A的概率（本组实验是硬币B的概率=1-本组实验是硬币A的概率）。分别计算每组实验中，选择A硬币且正面朝上次数的期望值，选择B硬币且正面朝上次数的期望值；

  3、（M-step）利用第三步求得的期望值重新计算θ_AθA​和θ_BθB​；

  4、当迭代到一定次数，或者算法收敛到一定精度，结束算法，否则，回到第2步。

计算过程详解：初始值θ_A^{(0)}θA(0)​=0.6,θ_B^{(0)}θB(0)​=0.5。

由两个硬币的初始值0.6和0.5，容易得出投掷出5正5反的概率是p_A=C^5_{10}*(0.6^5)*(0.4^5)pA​=C105​∗(0.65)∗(0.45)，p_B=C_{10}^5*(0.5^5)*(0.5^5)pB​=C105​∗(0.55)∗(0.55), p_ApA​/(p_ApA​+p_BpB​)=0.449, 0.45就是0.449近似而来的，表示第一组实验选择的硬币是A的概率为0.45。然后，0.449 * 5H = 2.2H ，0.449 * 5T = 2.2T ，表示第一组实验选择A硬币且正面朝上次数和反面朝上次数的期望值都是2.2，其他的值依次类推。最后，求出θ_A^{(1)}θA(1)​=0.71,θ_B^{(1)}θB(1)​=0.58。重复上述过程，不断迭代，直到算法收敛到一定精度为止。

这篇博客对EM算法的推导非常详细，链接如下：

https://blog.csdn.net/zhihua_oba/article/details/73776553

Python实现

#coding=utf-8from numpy import *from scipy import statsimport timestart = time.perf_counter()def em_single(priors,observations): """ EM算法的单次迭代 Arguments ------------ priors:[theta_A,theta_B] observation:[m X n matrix] Returns --------------- new_priors:[new_theta_A,new_theta_B] :param priors: :param observations: :return: """ counts = {'A': {'H': 0, 'T': 0}, 'B': {'H': 0, 'T': 0}} theta_A = priors[0] theta_B = priors[1] #E step for observation in observations: len_observation = len(observation) num_heads = observation.sum() num_tails = len_observation-num_heads #二项分布求解公式 contribution_A = stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_A) contribution_B = stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_B) weight_A = contribution_A / (contribution_A + contribution_B) weight_B = contribution_B / (contribution_A + contribution_B) #更新在当前参数下A，B硬币产生的正反面次数 counts['A']['H'] += weight_A * num_heads counts['A']['T'] += weight_A * num_tails counts['B']['H'] += weight_B * num_heads counts['B']['T'] += weight_B * num_tails # M step new_theta_A = counts['A']['H'] / (counts['A']['H'] + counts['A']['T']) new_theta_B = counts['B']['H'] / (counts['B']['H'] + counts['B']['T']) return [new_theta_A,new_theta_B]def em(observations,prior,tol = 1e-6,iterations=10000): """ EM算法 ：param observations :观测数据 ：param prior：模型初值 ：param tol：迭代结束阈值 ：param iterations：最大迭代次数 ：return：局部最优的模型参数 """ iteration = 0; while iteration < iterations: new_prior = em_single(prior,observations) delta_change = abs(prior[0]-new_prior[0]) if delta_change < tol: break else: prior = new_prior iteration +=1 return [new_prior,iteration]#硬币投掷结果observations = array([[1,0,0,0,1,1,0,1,0,1], [1,1,1,1,0,1,1,1,0,1], [1,0,1,1,1,1,1,0,1,1], [1,0,1,0,0,0,1,1,0,0], [0,1,1,1,0,1,1,1,0,1]])print (em(observations,[0.6,0.5]))end = time.perf_counter()print('Running time: %f seconds'%(end-start))

总结

到此这篇关于Python实现EM算法实例的文章就介绍到这了,更多相关Python实现EM算法实例内容请搜索以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持！