C++ 实现求小于n的最大素数的实例

枚举就是基于已有知识镜像答案猜测的一种问题求解策略

问题：求小于n的最大素数

分析：

找不到一个数学公式，使得根据N就可以计算出这个素数

我们思考：

N-1是素数么？N-2是素数吗？...
所以我们就是判断N-K是否为素数：
N-K是素数的充分必要条件：N-K不能被[2,n-k)中任何一个整除
判断N-K是否为素数的问题可以转化为：
求小于N-K的全部素数（求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”，而不是整数）
不能被[2,n)中任意一个素数整除的数一定是素数，因为那些整数都是以素数为因子的，
所以没必要检测所有整数，检测所有素数就ok了

解决方法：

2是素数，记为PRIM 0

根据PRIM 0，PRIM 1，...PRIM K，寻找比PRIM K大的最小素数PRIM K+1（这里是根据素数找素数）

如果PRIM K+1大于N，则PRIM K是我们需要找的素数，否则继续寻找

枚举：

从可能的集合中一一列举各元素
根据所知道的知识，给一个猜测的答案
比如：2是素数，那2是本问题的解么

枚举算法：

对问题可能解集合的每一项：
根据问题给定的检验条件判断哪些是成立的
使条件成立的即为问题的解

枚举过程：

判断猜测答案是否正确
2是小于N的最大素数么？
进行新的猜测：

有两个关键因素要注意：

1. 猜测的结果必须是前面的猜测中没有出现过的。每次猜测的素数一定要比已经找到的素数大
2. 猜测的过程中要及早排除错误的答案。比如：除2之外，只有奇数才可能是素数

枚举过程中需要考虑的问题：

1. 给出解空间，建立简介的数学模型
可能的情况是什么？
模型中变量数尽可能的少（使规模尽量小），他们之间相互独立
求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”
而不是“n不能被[2,n)中任意一个整数整除”

2. 减少搜索的空间

利用知识缩小模型中各变量的取值范围，避免不必要的计算
比如：较少代码中循环体执行的次数
除2之外，只有奇数才可能是素数，{2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n}

3. 采用合适的搜索顺序

搜索空间的遍历顺序要与模型中条件表达式一致
例如：对{2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n}，按照从小到大的顺序

枚举关键字（枚举核心）：

减少规模

实例代码：

#include <iostream>using namespace std;int prim[50000];//用来存所有素数 int primNum=0;//用来记录 prim数组中已经存入的素数的数量 int times=0; //用于记录求解问题的总共判断次数 int primLessN(int n);int primLessN_2(int n);bool isPrimMothed(int n); //判断一个数是否为素数 /* 方法一：由前往后用素数判断的枚举法： 求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”，而不是整数 当n=10 0000时， ans=99991 times=4626 4478次 primNum=9592 我每一个素数被判断出来，都要遍历一下之前的素数表 而判断10 0000的时候，外层循环走了50000，里层每一个素数就是一次之前素数表的遍历 50000*（1+2+3+...+9592)=50000* 4600 8082 前面那个数没有50000，还要减去那些非素数 从 50000* 4600 8082可以看出，主要是之前那些素数花的时间，非素数几乎没花时间 非素数= 4626 4478-4600 8082= 25 6450 只有25万，虽然还是要比下面多很多，因为是从前往后比较的 */int primLessN(int n){ prim[0]=2; //2是最小的素数 primNum++; for(int i=3;i<n;i+=2){ bool isPrim=1; //isPrim用来判断一个数是否为素数 for(int j=0;j<primNum;j++){ times++; if(i%prim[j]==0){ isPrim=0; break; //没加break之前， 当n=10 0000时，times=2 5239 6936次 （2.5亿） ，加了之后times=4626 4478次 （4.5千万次） } } if(isPrim) prim[primNum++]=i;//如果是素数，则存入prim素数数组 } return prim[primNum-1];} bool isPrimMothed(int n){ bool isPrim=1; //isPrim用来判断一个数是否为素数 if(n==2||n==3) return 1; for(int i=2;i*i<=n;i++){ times++; if(n%i==0) return 0; } return 1;} int primLessN_2(int n){ for(int i=n;i>=2;i--){ if(isPrimMothed(i)) return i; } }int main(){ int n; scanf("%d",&n); //int ans=primLessN(n); int ans=primLessN_2(n); cout<<ans<<endl; printf("总判断次数times:%d\n",times); printf("总素数数primNum:%d\n",primNum); return 0;}

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