共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

算法步骤：

import randomimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t): ''' 线性搜索子函数 数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，t试探系数>1， ''' flag = 0 a = 0 b = alpham fk = f(x) gk = df(x) phi0 = fk dphi0 = np.dot(gk, d) alpha=b*random.uniform(0,1) while(flag==0): newfk = f(x + alpha * d) phi = newfk # print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0) if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0): if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0): flag = 1 else: a = alpha b = b if (b < alpham): alpha = (a + b) / 2 else: alpha = t * alpha else: a = a b = alpha alpha = (a + b) / 2 return alpha def Wolfesearch(f,df,d,x,alpham,rho,t): ''' 线性搜索子函数 数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d σ∈(ρ,1)=0.75 ''' sigma=0.75 flag = 0 a = 0 b = alpham fk = f(x) gk = df(x) phi0 = fk dphi0 = np.dot(gk, d) alpha=b*random.uniform(0,1) while(flag==0): newfk = f(x + alpha * d) phi = newfk # print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0) if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0): # if abs(np.dot(df(x + alpha * d),d))<=-sigma*dphi0: if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0): flag = 1 else: a = alpha b = b if (b < alpham): alpha = (a + b) / 2 else: alpha = t * alpha else: a = a b = alpha alpha = (a + b) / 2 return alpha def frcg(fun,gfun,x0): # x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度 # x,val分别是近似最优点和最优值，k是迭代次数 # dk是搜索方向，gk是梯度方向 # epsilon是预设精度，np.linalg.norm(gk)求取向量的二范数 maxk = 5000 rho = 0.6 sigma = 0.4 k = 0 epsilon = 1e-5 n = np.shape(x0)[0] itern = 0 W = np.zeros((2, 20000)) f = open("共轭.txt", 'w') while k < maxk: W[:, k] = x0 gk = gfun(x0) itern += 1 itern %= n if itern == 1: dk = -gk else: beta = 1.0 * np.dot(gk, gk) / np.dot(g0, g0) dk = -gk + beta * d0 gd = np.dot(gk, dk) if gd >= 0.0: dk = -gk if np.linalg.norm(gk) < epsilon: break alpha=goldsteinsearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2) # alpha=Wolfesearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2) x0+=alpha*dk f.write(str(k)+' '+str(np.linalg.norm(gk))+"\n") print(k,alpha) g0 = gk d0 = dk k += 1 W = W[:, 0:k+1] # 记录迭代点 return [x0, fun(x0), k,W] def fun(x): return 100 * (x[1] - x[0] ** 2) ** 2 + (1 - x[0]) ** 2def gfun(x): return np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0] ** 2) - 2 * (1 - x[0]), 200 * (x[1] - x[0] ** 2)]) if __name__=="__main__": X1 = np.arange(-1.5, 1.5 + 0.05, 0.05) X2 = np.arange(-3.5, 4 + 0.05, 0.05) [x1, x2] = np.meshgrid(X1, X2) f = 100 * (x2 - x1 ** 2) ** 2 + (1 - x1) ** 2 # 给定的函数 plt.contour(x1, x2, f, 20) # 画出函数的20条轮廓线 x0 = np.array([-1.2, 1]) x=frcg(fun,gfun,x0) print(x[0],x[2]) # [1.00318532 1.00639618] W=x[3] # print(W[:, :]) plt.plot(W[0, :], W[1, :], 'g*-') # 画出迭代点收敛的轨迹 plt.show()

代码中求最优步长用得是goldsteinsearch方法，另外的Wolfesearch是试验的部分，在本段程序中不起作用。

迭代轨迹：

三种最优化方法的迭代次数对比：

最优化方法

最速下降法

共轭梯度法

牛顿法

迭代次数

1702

240

5

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。