共轭梯度法，特征值聚堆情况下迭代次数讨论

输入各种特征值聚堆与分散时的矩阵，并应用共轭梯度法，观察迭代次数与聚堆情况的关系。

因为对角矩阵的对角线元素为其特征值，则用对角矩阵讨论较为方便
代码

import numpy as npdef cg(x0, A, b): r0 = np.dot(A, x0) - b p0 = -r0 rk = r0 pk = p0 xk = x0 t = 0 #记录迭代次数 while np.linalg.norm(rk) >= 1e-6: rr = np.dot(rk.T, rk) ak = rr / np.dot(np.dot(pk.T, A), pk) xk = xk + ak * pk rk = rk + ak * np.dot(A, pk) bk = np.dot(rk.T, rk) / rr pk = -rk + bk * pk t += 1 return xk, t#输入列表，生成以列表为对角元素的对角矩阵def Diagonal_matrix(D): n = len(D) diag = np.zeros((n,n)) for i in range(n): diag[i][i] = D[i] return diag#矩阵对角线元素D_1 = [1, 1, 1, 1, 1, 6, 7, 8, 9, 10]D_2 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]D_3 = [0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 6, 7, 8, 9, 10]D_4 = [1 - 2*1e-7, 1 - 1e-7, 1, 1 + 1e-7, 1 + 2*1e-7, 6, 7, 8, 9, 10]D_5 = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 10]#初始值x0 = np.zeros((10,1))b = np.ones((10,1)) #生成对角矩阵diag1 = Diagonal_matrix(D_1)diag2 = Diagonal_matrix(D_2)diag3 = Diagonal_matrix(D_3)diag4 = Diagonal_matrix(D_4)diag5 = Diagonal_matrix(D_5)#共轭梯度法迭代x_1, n_1 = cg(x0, diag1, b)x_2, n_2 = cg(x0, diag2, b)x_3, n_3 = cg(x0, diag3, b)x_4, n_4 = cg(x0, diag4, b)x_5, n_5 = cg(x0, diag5, b)n = [n_1, n_2, n_3, n_4, n_5]#输出for i in range(5): print('矩阵',i + 1 ,'的迭代次数为: ', n[i])

矩阵1，前5个元素聚堆且都为相同元素

矩阵2，特征值分散

矩阵3，前5个特征值聚堆，但是最大差为0.4 ，而cg法精度为1e-6

矩阵4，前5个特征值聚堆，且相差最大小于1e-6

矩阵5，三聚堆
输出：

分析：

• 聚堆特征值可看作一个特征值
• 特征值差小于迭代精度时被看作聚堆
• 例如矩阵5，前三个对角元素看作一个，4-6元素看作一个，7-9看作一个 一共4个元素，则需要迭代4次

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